Lad os først se på kvadrater, hvor sidelængden er et helt tal. Det første kvadrat kaldes enhedskvadratet, da sidelængden er 1. Det næste kvadrat har arealet 4, da det er fire gange så stort som enhedskvadratet.

Hvis sidelængden af et kvadrat er 1 meter, så er arealet 1 kvadratmeter. Hvis der ikke er angivet nogen måleenhed, så er arealet bare 1.

For at gøre det lettere at forstå betydningen af matematiske udtryk vil vi normalt foretrække dem så simple som muligt.

Eksempelvis kan vi skrive \(4\) i stedet for \(2+2\) eller \( 3^5 \) i stedet for \( 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \).
Det sidste udtryk kan skrives endnu simplere, da \(3^5\) er lig \(243\), men den omskrivning kræver lidt ekstra hovedregning eller en lommeregner.

Når du bruger dette program, er det vigtigt, at du kun bruger dit hoved samt papir og blyant. Brug ikke lommeregner, computer eller andre personer som hjælp til at løse opgaverne. Gå hellere tilbage til nogle af de tidligere opgaver, hvis du går i stå.
Målet er, at du skal kunne regne med samme sikkerhed, som du kan stave dit eget navn.

De mest almindelige beregninger skal du kunne lave i hovedet nærmest uden at tænke, men det kræver øvelse at nå der til.

Du får nu kun fem sekunder per opgave.

Lad os igen se på kvadrater, hvor sidelængden er et helt tal. Alle tal, der svarer til arealet af et sådant kvadrat, kaldes kvadrattal. Således er de tre mindste kvadrattal 1, 4 og 9.

Disse formuleringer betyder det samme

Du får nu kun 6 sekunder per opgave.

Lad os se på et kvadrat med en ukendt sidelængde. Hvis arealet af kvadratet er 25, så må sidelængden være 5. Vi siger, at kvadratroden af 25 er 5.

Lad os se på et kvadrat med en sidelængde på 3,5. Det er ikke så nemt at beregne arealet uden lommeregner, men vi kan lave et godt gæt, da vi kan beregne arealet af et lidt mindre kvadrat og et lidt større kvadrat. Altså må 9 være mindre end arealet af kvadratet, og arealet må samtidig være mindre end 16.
Med symboler kan vi skrive det således: Eller endnu kortere: \[ 9<3.5^2<16 \]

Hvad stort er tallet \( \sqrt{50} \) ?

Også her vil vi foretrække at bruge en lommeregner, hvis vi skal have et præcist resultat, men vi kan lave en hurtig vurdering uden. Vi ved jo, at \( \sqrt{49} \) er lig 7 og at \( \sqrt{64} \) er lig 8, så \( \sqrt{50} \) må være større end 7 og mindre end 8.
Med symboler kan vi skrive det kortere: \[ 7 < \sqrt{50} < 8 \]

Du får nu en række blandede opgaver, som du skal kunne løse sikkert og hurtigt, før du er klar til næste emne.
Hvis en bestemt type opgaver giver problemer, så prøv at løse de tidligere niveauer igen.

Vi løser en ligning ved at bruge regneoperationer til at isolere den ubekendte størrelse, vi er interesserede i.

Se for eksempel på ligningen \[ x+a = 8 \] Vi kan isolere x ved at trække a fra på begge sider af lighedstegnet. Vi får \[ x+a-a=8-a \] Det vil sige, at \[ x= 8-a \]

Vi vil isolere a i følgende ligning \[ 4-a=10 \] Vi trækker 4 fra på begge sider og får \[ -a=6 \] Nu ganger (eller dividerer) vi med -1 \[ a=-6 \]

Se på ligningen \[ \frac{1}{3} \cdot x = 8 \] Vi kan her gange med 3 på begge sider. \[ \frac{1}{3} \cdot x \cdot 3 = 8 \cdot 3 \] Altså får vi, at \[ x=24 \] Du får nu 10 sekunder per opgave.

Denne gang får du ligninger som denne: \[ -x-4=-2 \] Vi kan lægge fire til på begge sider \[ -x=2 \] Og nu kan vi gange med -1 på begge sider \[ x=-2 \] Du får kun 8 sekunder per opgave.

Du kan hurtigt tjekke, om du har løst en ligning korrekt: Indsæt din løsning i den oprindelige ligning, og tjek om venstre side af ligningen er lig højre side.

Eksempel: Vi vil undersøge, om \( x=2 \) er en løsning til ligningen \[ 3x+6=18-4x \] Højre side giver 12, hvis \(x=2\), mens venstre side giver 10. Altså er \(x=2\) ikke en løsning.

Ligninger kan løses på mange måder. Følgende metode er ofte effektiv til at isolere x:
    1) Saml alle led, hvori x indgår på den ene side af lighedstegnet, mens alle øvrige led samles på den anden side.
    2) Reducér på begge sider
    3) Isolér x

Eksempel: Vi vil løse ligningen \[ 2x-9+4x=10x+7 \] Vi trækker 10x fra på begge sider og lægger 9 til på begge sider. Så får vi \[ 2x+4x-10x=7+9 \] Nu reduceres. Det giver \[ -4x=16 \] Til sidst isoleres x ved at dele med -4 \[ x=\frac{16}{-4} \] Altså er løsningen \[ x=-4 \]

Se på følgende tallinje:
Her er alle de hele tal fra -5 til 5 markeret. Men mellem de hele tal, er der også tal.
Lad os zoome ind på tallinjen, så vi fokuserer på linjestykket mellem 0 og 1.
Hvis vi deler linjestykket i to lige store dele, får vi markeret, hvor tallet \( \frac{1}{2} \) er på tallinjen.
Vi kunne også skrive 0,5 i stedet for \( \frac{1}{2} \), men vi foretrækker i første omgang at skrive tallet som en brøk. Det er en god hjælp at tegne eller forestille sig en tallinje, når opgaverne på dette niveau skal løses.

Se på følgende udtryk \[ \frac{2}{3} \] Dette udtryk kan opfattes som et regnestykke eller et tal.
Hvis vi opfatter det som et regnestykke, udtaler vi det ”to divideret med tre” eller ”to delt med tre”.
Hvis vi opfatter det som et tal, så siger vi ”to tredjedele”.

Følgende to små opgaver viser forskellen.

Første opgave:
Tre drenge køber hver to kager. Hvor mange kager køber de tilsammen?

Det samlede antal kager må være \(3 \cdot 2\), og svaret på opgaven er altså 6.
Bemærk, at det ikke er tilstrækkeligt at angive svaret \(3 \cdot 2\).

Anden opgave:
Tre drenge køber i fællesskab to kager. Hvor meget kage er der til hver?

Svaret er \( \frac{2}{3} \) kage.
Dette svar er acceptabelt, da \(\frac{2}{3}\) kan opfattes som et tal. Der er altså to tredjedele kage til hver.

I en brøk kaldes tallet over brøkstregen "tælleren", mens tallet under kaldes "nævneren".

Eksempelvis er tælleren 4 og nævneren 5 i følgende brøk \[ \frac{4}{5} \] Husketip: "Nævneren" nævner at der er tale om femtedele, og "tælleren" tæller hvor mange femtedele, der er tale om.

Følgende brøker kaldes "stambrøker" \[\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6} osv. \] I en stambrøk er tælleren altså 1.

Hvis tælleren er større end nævneren kan brøken kaldes en "uægte brøk". Altså er \[\frac{4}{3}\] et eksempel på en uægte brøk. For at undgå uægte brøker kan vi bruge såkalde "blandede tal": \[\frac{4}{3}\] er det samme som \[1\frac{1}{3}\] Der er imidlertid mange fordele ved at undgå blandede tal, så det vil vi gøre. Vi får heller ikke brug for at bruge betegnelserne "stambrøker" og "uægte brøker" - vi kalder blot alle tal skrevet med en tæller og en nævner for "brøker". Det er imidlertid vigtigt, at du ved, at ordene findes, da du af og til kan støde på dem i andre sammenhænge.

Lad os igen se på en tallinje Vi kan illustrere, at \(2+3=5\) ved at finde \(2\) på talaksen og derefter gå \(3\) til højre.
Og vi kan se, at \(2-3=-1\) ved at finde \(2\) på talaksen og \(3\) til venstre.

Tilsvarende kan vi bruge tallinjen til at illustrere regning med brøker. Eksempelvis er \[\frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{7}{3} \] og \[\frac{2}{3} - \frac{5}{3} = \frac{-3}{3}=-1 \] Det er altså simpelt at regne med brøker, når nævneren er den samme.

Vi kan gange en brøk med helt et tal ved at gange tælleren med tallet. \[ 5 \cdot \frac{2}{3} \] Tilsvarende kan vi dividere en brøk med et helt tal ved at gange nævneren med tallet. \[ \frac{\frac{4}{3}}{5} = \frac{4}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15} \]

Vi bruger følgende huskeregel, når vi ganger to brøker sammen: Tæller ganges med tæller, og nævner ganges med nævner: \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15} \]

Vi dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte brøk: \[ \frac{\frac{2}{3}}{ \frac{4}{5} } = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} \]

Da \( 1 = \frac{2}{2} \), må der gælde, at \[ \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{4}{6} \] Altså udtrykker \(\frac{2}{3}\) og \(\frac{4}{6}\) samme tal. (dvs. samme punkt på talaksen). Vi siger, at vi har forlænget brøken med 2.

Hvis vi tilsvarende forlænger \( \frac{2}{3} \) med 5, så får vi \( \frac{10}{15} \).

Vi kan forkorte følgende brøk med 3, da både tæller og nævner kan deles med 3: \[ \frac{9}{12} \] Resultatet er \[ \frac{3}{4} \] Til gengæld er \( \frac{3}{4} \) en uforkortelig brøk, da tæller ingen hele tal går op i både tæller og nævner.

Hvis vi vil forkorte en brøk mest muligt, kan vi begynde med at primtalsfaktorisere både tæller og nævner som i følgende eksempel: \[ \frac{18}{30} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 5} \] Her kan vi se, at der står \(2 \cdot 3 \) i både tæller og nævner, så vi kan forkorte med både 2 og 3. \[ \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \]

Som vi har set på et tidligere niveau, er det let at lægge to brøker sammen, hvis de har samme nævner. Eksempelvis er \[ \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \] Hvis nævnerne er forskellige, er vi nødt til at forlænge eller forkorte brøkerne, så de får fælles nævner: \[ \frac{2}{4} + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} = \frac{10}{12} \] Den sidste brøk kan forkortes til \( \frac{5}{6} \).

Nogle gange er det let at se, hvordan to brøker kan få fælles nævner - hvis ikke, kan man altid forlænge hver brøk med nævneren i den anden brøk som i eksemplet herover.

Se på udtrykket Udtrykket i parentesen udgøres af to led, nemlig \(a\) og \(b\). Derfor kalder vi \( (a+b)^2 \) for kvadratet på en to-ledet størrelse. Vi kan omskrive udtrykket til Hvis vi ganger parenteserne sammen, får vi Denne omskrivning bruges så ofte, at det er en fordel at huske den.

Huskeregel:
Kvadratet på en toledet størrelse er lig kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt.

Se på udtrykket Her er der også tale om kvadratet på en to-ledet størrelse. Hvis vi omskriver udtrykket, så vi foretager addition i stedet for subtraktion, får vi Nu kan vi bruge sætningen fra tidligere:
kvadratet på en toledet størrelse er kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt. Altså bliver udtrykket Lad os gennemgå et eksempel:

Se på udtrykket Vi siger, at der er tale om to tals sum gange to tals differens. Prøv at gange de to parenteser sammen og reducere, inden du går videre.

Udtrykket bliver nu Huskeregel: To tals sum gange to tals differens er lig kvadratet på første led minus kvadratet på andet led.

Vi har på de forgående niveauer set på udtryk som disse tre Kvadratsætningerne kan formuleres med tre ligninger, der viser, hvordan udtrykkene kan omskrives Disse omskrivninger bruges så ofte, at du skal kunne dem udenad. Derfor får du nu 25 sekunder per opgave.

Vær forberedt på, at det kan tage et stykke tid før du kan lave fire rigtige i træk.

Kvadratsætningerne er anvendelige i mange sammenhænge i videregående matematik, men også til hurtig hovedregning kan vi drage nytte af dem.

Vi vil beregne Vi kan lave følgende beregninger i hovedet eller på papir:
Et andet eksempel: Vi vil beregne Det kan beregnes således Et tredje eksempel: Vi vil beregne Det kan beregnes således

Se på udtrykket Ifølge kvadratsætningerne kan vi omskrive udtrykket til Lad os tage endnu et eksempel.
Se på udtrykket Vi omskriver til Hvordan kan man komme frem til disse omskrivninger?
Udfordringen består i at genkende et bestemt mønster.
Hvis det er for svært, så repetér de forrige niveauer.

Vi vil reducere følgende udtryk Vi ganger parenteserne sammen og får Vi kan altså reducere udtrykket til

På dette sidste niveau får du 30 sekunder per opgave. Prøv at løse opgaverne uden papir og blyant.

Vi bruger de naturlige tal, når vi tæller: En, to, tre, fire.... Altså er 8 og 213 eksempler på naturlige tal, mens -4 og 2.5 er eksempler på tal, der ikke er naturlige. De hele tal omfatter alle naturlige tal, men også de tilsvarende negative tal samt nul. Altså er -4, 8 og 0 eksempler på hele tal, mens 2.5 er et eksempel på et tal, der ikke er helt.

Vi siger, at \(3\) går op i \(12\), da Vi kan også formulere det således: 3 går op i 12, da 12 delt med 3 giver et helt tal, nemlig 4.

Et primtal er et naturligt tal, hvorom det gælder, at kun 1 og tallet selv går op i det. Dog er 1 ikke et primtal. Således er 2 et primtal, da kun 1 og 2 går op i 2. Men 4 er ikke et primtal, da både 1, 2 og 4 går op i 4.

Alle naturlige tal, der ikke er primtal, er lig produktet af to eller flere primtal. (Det gælder dog ikke tallet 1). Således gælder eksempelvis, at Når vi bestemmer, hvilke primtal, vi skal gange sammen for at få et bestemt tal, så primtalsfaktoriserer vi. Vi kan også sige, at vi primfaktoriserer eller at vi opløser tallet i primfaktorer.

I praksis kan du bruge følgende metode, hvis du eksempelvis skal primtalsfaktorisere 42:

Det er ofte nyttigt hurtigt at kunne genkende små primtal. Derfor får du nu kun fire sekunder per opgave.

Den vigtigste grund til at lære at genkende de små primtal er, at det så er ret hurtigt at opløse små tal i primfaktorer, hvilket blandt andet er nyttigt i brøkregning.
Du får nu 13 sekunder per opgave

Opsamling. Du har mellem 6 og 13 sekunder til hver opgave. Hvis det er for svært, så repetér de forgående niveauer.

Hvis vi deler et tal med et andet tal, foretager vi en regneoperation, der kaldes division. Resultatet er en kvotient. Eksempel:
Kvotienten mellem 6 og 2 er 3, da 6 delt med 2 giver 3.

Regneoperationen division kan angives med symboler på flere måder:
Vi foretrækker den sidste metode, men når vi indtaster på en computer, skal vi normalt bruge skråstregen. Til gengæld vil vi helst undgå at bruge kolon som operator. Division kan også udtrykkes med ord på forskellige måder. Eksempelvis:

Det er ofte nyttigt hurtigt at kunne dividere med 2, 3 og 5 uden at bruge lommeregner.
Du får du nu 10 sekunder per opgave.

Division har samme plads i regnehierarkiet som multiplikation. Prøv at omregne følgende udtryk til et tal, før du går videre
Resultatet er 9, da division skal foretages før addition og subtraktion. Når vi bruger brøkstregen, bliver regnehierarkiet fremhævet

Se på udtrykket 3+7.
Hvis vi vil dele dette udtryk med 5, skal vi enten bruge en parentes eller en brøkstreg Bemærk, at vi ikke skriver Parentesen er ikke nødvendig, når vi bruger en brøkstreg.

Du skal på dette niveau afgøre, om de anvendte parenteser har betydning.
Eksempelvis er parentesen i følgende udtryk overflødig

Når vi dividerer, er rækkefølgen ikke ligegyldig.

Eksempelvis er 2/3 ikke lig 3/2.
Derfor vil vi undgå udtryk som 12/3/2 og i stedet bruge en parentes. Vi kan også skrive udtrykket ved hjælp af brøksteger Bemærk de forskellige størrelser på brøkstegerne. Hvis vi vil omregne udtrykket til et tal, så skal vi altså først dele 12 med 3 og derefter dele med 2.

Resultatet er dermed 2.

Man skal have godt styr på regnehierarkiet og brug af parenteser for at kunne indtaste komplicerede udtryk på en computer.

Hvis vi eksempelvis vil skrive skal vi indtaste

På dette niveau får du blandede opgaver fra hele emnet. Husk at du kan repetere opgaver på et bestemt niveau ved hjælp af overblikket, som du finder i menuen. Du får 30 sekunder per opgave.

Regning med bogstaver er en de virkelig smarte ideer i matematikken. Ideen er, at vi kan bruge bogstaver til at symbolisere bestemte tal, eller tal vi ikke kender.

Her er et eksempel, hvor et bogstav bruges til at symbolisere et bestemt tal: Her er et eksempel, hvor et bogstav bruges til at symbolisere et ukendt tal: Da bogstaverne symboliserer tal, gælder de samme regneregler som for tal.

Når vi lader bogstaver symbolisere bestemte tal, kalder vi dem konstanter.
I matematikken er de mest berømte konstanter \( \pi \) og Eulers tal \( e \) (Eulers tal bruges hyppigt i mere avanceret matematik). I de naturvidenskabelige fag bruges et væld af konstanter, så derfor er det smart at inddrage græske bogstaver.

Lad nu \(a\) og \(b\) være to konstanter. Det vil sige, at a og b er to bestemte tal. Vi kan godt lave omskrivninger af udtryk med \(a\) og \(b\) uden at kende de to tal.

Eksempelvis kan vi omskrive følgende udtryk til Når vi omskriver et udtryk til en mere simpel form, reducerer vi udtrykket.

Se på følgende udtryk Som sædvanlig skal potenser regnes først, hvorefter vi multiplicerer og til sidst adderer.
Hvis vi ikke kender tallet \( a \), kan vi ikke forsimple udtrykket i dette tilfælde. Men hvis vi eksempelvis ved, at \(a\) er lig 2, så gælder, at

For at lette skrivearbejdet, når vi regner med bogstaver, kan gangetegnet ofte udelades.
Således betyder følgende udtryk det samme: Der er tradition for , at vi skriver \(4a\) og ikke \(a4\), når vi undlader at bruge gangetegnet.

Se på følgende udtryk Dette udtryk består af fire led. To led adskilles altid af operatorerne \( + \) eller \( - \). Alle led, hvori der indgår samme kombination af bogstaver, kan reduceres til ét led. Udtrykket kan derfor samlet reduceres til at bestå af to led: Et eksempel mere: Se nu på udtrykket Her kan leddene med \( b^2 \) reduceres til \( 5b^2 \) og leddene med \( a \) reduceres til \( -5a \). Bemærk, at leddene med \(b\) og \(b^2\) ikke kan sættes sammen til ét led, da der ikke er tale om samme kombination af bogstaver.
Det samlede udtryk kan altså reduceres til

Det kan være lidt besværligt at afgøre, om to led kan reduceres til ét, hvis der indgår komplicerede bogstavkombinationer. Se eksempelvis på udtrykket Da rækkefølgen er ligegyldig, når vi ganger (faktorernes orden er ligegyldig), så kan vi omskrive udtrykket til Der er altså tale om den samme kombination af bogstaver, og vi kan derfor reducere de to led til ét

...og nu lidt mere træning i at omskrive komplicerede udtryk.

Du skal hurtigt kunne afgøre, om et udtryk kan reduceres. Du får derfor kun 12 sekunder per opgaver.

Se på følgende udtryk Det må være lig med Ved addition er rækkefølgen ligegyldig, så parenteserne har ingen betydning.
Vi kan derfor omskrive udtrykket til Efter endnu en omskrivning får vi Vi har nu vist, at Vi kan altså ophæve parentesen ved at gange med hvert led i parentesen. Vi siger, at vi ganger ind i parentesen.

Når vi skal regne uden lommeregner eller computer, kan vi ofte drage fordel af, at det er nemt at gange med 10. Se på følgende udtryk Det må være lig med Hvis vi ganger ind i parentesen, får vi Et lidt besværlig regnestykke kan altså reduceres til flere enkle regnestykker.
Alle mellemregningerne kan vi præsentere på én linje således Altså kan vi konkludere, at

Se på udtrykket Dette, ved vi, er det samme som Vi siger, at vi sætter 13 uden for parentes.

Se på udtrykket Vi kan gange ind i parentesen. Det giver

Se på udtrykket Her kan vi sætte (c+d) uden for parentes Ovenstående omskrivning bruges igen herunder Vi har nu vist, hvordan vi kan gange to parenteser sammen. Vi kan huske det således:
Første led i første parentes ganges med alle led i anden parentes. Derefter ganges næste led i første parentes med alle led i anden parentes.
Vi kan således lave følgende omskrivning direkte:

Vi vil nu ophæve parenteserne i følgende udtryk Heri indgår både subtraktion og fortegnsskift. Men hvis vi benytter addition i stedet for subtraktion, så kan vi gøre præcis som på forrige niveau:

Se på udtrykket
Brug et øjeblik på at tjekke følgende omskrivning Vi kan lave en enkelt omskrivning mere, der gør udtrykket kortere. Vi har nu reduceret udtrykket mest muligt. Vi vil imidlertid lave endnu en omskrivning, der gør udtrykket endnu hurtigere at aflæse. Vi har her skrevet led med de højeste potenser af den ubekendte først. Du får nok brug for papir og blyant til at regne opgaverne på dette niveau.

Lad os se på et eksempel, hvor mere end to parenteser skal ganges sammen:
Først ganger vi to af parenteserne sammen Læg mærke til, at vi skal bruge en ny parentes.
Nu ganger vi de sidste to parenteser sammen Til sidst reduceres

Du får nu 25 sekunder per opgave.

\( 6^3 \) er et eksempel på en potens.
3-tallet kaldes eksponenten, og 6-tallet kaldes roden.

Vi bruger potenser til at forenkle matematiske udtryk. I stedet for at skrive \[ 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \] kan vi skrive \[ 5^7 \]
Om matematiske udtryk:
Vi bruger mange særlige symboler i matematik - eksempelvis \( +, -, \cdot, =, \int \). Faktisk er tallene 1,2,3... osv. også matematiske symboler. Hvis vi bruger symbolerne i overensstemmelse med en række regler, så får vi matematiske udtryk. Eksempelvis er \(4+6\) et matematik udtryk, mens \( 4+\cdot 5 \) ikke er det.

Jo bedre du bliver til matematik, jo flere matematiske udtryk lærer du at forstå og anvende.

Det kan hurtigt blive besværligt at omregne potenser til tal uden lommeregner.
Visse potenser kan vi dog hurtigt klare.
Lad os se på potenser med roden 2: \[ 2^1 = 2 \] \[ 2^2 = 2 \cdot 2 = 4 \] \[ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \] \[ 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \] \[ osv. \] Potenser med roden 10 er endnu lettere: \[ 10^1 = 10 \] \[ 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \] \[ 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 \] \[ 10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000 \]

Kvadratrødder:
Vi har allerede set på kvadratrødder, så vi ved, at \( \sqrt{16} = 4 \). Årsagen er, at 16 kan skrives som en potens med roden 4 og eksponenten 2. Dvs.: \( 4^2 = 16 \).

Andre rødder:
Vi ved også, at \( 2^4 = 16 \). Det betyder, at den fjerde rod af 16 er 2. Vi kan skrive det med symboler således: \( \sqrt[4]{16} = 2 \)

Hvis vi eksempelvis vil bestemme den tredje rod af 16, så har vi brug for en lommeregner, hvis det skal være meget præcist. Men vi kan hurtigt afgøre, at den tredje rod af 16 er større end 2 og mindre end 4. (Overvej dette!)

Bemærk: Den anden rod af 16 er det samme som kvadratroden af 16: \( \sqrt[2]{16} = \sqrt{16} \).

Et kvadrattal svarer som bekendt til arealet af et kvadrat. Eksempelvis er arealet af følgende kvadrat 9: På samme måde svarer kubiktal til rumfanget af en kube. Vi har brug for tre dimensioner for at lave en kube, så på en computerskærm er vi nødt til at snyde hjernen med skygger og perspektiv.
Herunder beregnes de fem mindste kubiktal. Læg mærke til, at eksponenten er 3 og roden er et helt tal. \[ 1^3 = 1 \] \[2^3 = 8\] \[ 3^3 = 27 \] \[4^3 = 64 \] \[5^3 = 125 \] Der er altså kun fire kubiktal, der er mindre end 100, og vi vil normalt bruge en lommeregner, hvis vi skal bestemme større kubiktal.
Det er let at bestemme kubikroden af et kubiktal - eksempelvis er kubikroden af 64 lig 4. ( \( \sqrt[3]{64} = 4 \) ).

Andre kubikrødder kræver en lommeregner: Eksempelvis er \( \sqrt[3]{100} \approx 4.64 \)

Du får nu kun seks sekunder per opgave.

Vi har flere muligheder for at udtrykke potensen \(5^4\) med ord: Rødder udtrykkes således:
Bemærk: I disse eksempler kaldes 16 grundtallet eller radikanden, mens 5 (i det sidste eksempel) kaldes rodeksponenten.
Disse navne bruges så sjældent, at det ikke er nødvendigt at terpe dem.

Hvor store tal svarer disse udtryk til: \( 3.8^3 \) og \( \sqrt[3]{50} \) ?
Det er ikke så let at besvare uden en lommeregner. Men vi kan give en hurtig vurdering: Vi ved, at \( 3^3 = 27 \) og \( 4^3 = 64 \), så \( 3.8^3 \) må være større end 27 og mindre end 64.

Vi ved også, at \( \sqrt[3]{64} = 4 \) og \( \sqrt[3]{27} = 3 \), så \( \sqrt[3]{50} \) må være større end 3 og mindre end 4.

Det sidste niveau på hvert emne fungerer som en opsamling på hele emnet. Det er derfor en god idé at repetere niveauet en gang i mellem, så du ikke glemmer teknikkerne.

Du har nu 10 sekunder til hver opgave.

Når vi lægger to tal sammen, foretager vi en operation, der kaldes addition og resultatet er en sum.
For eksempel gælder, at Når vi trækker et tal fra et andet, foretager vi en operation, der kaldes subtraktion og resultatet er en differens. For eksempel gælder, at Vi kan selvfølgelig også skrive Her er symbolerne ”\(+\)” og ”\(-\)” operatorer, der angiver, at vi skal foretage operationerne ”addition” eller ”subtraktion”.

Matematik er ofte lettere at forstå, hvis man tænker i billeder. Derfor laver matematikere mange små tegninger. Sørg derfor altid for at have papir og blyant ved hånden, når du skal lære matematik. Eksempelvis er det en god idé at tænke på en tallinje, når man skal regne med negative tal. Dette er et eksempel på en tallinje (også kaldet en talakse). På en tallinje ordnes tallene fra mindst til størst. Tallet 3 er således større end tallet -5, da 3 står længst til højre. Bemærk, at symbolet "\(-\)" her bruges som et fortegn til at angive, at et tal er negativt.
Vi kan godt tydeliggøre, at et tal er positivt ved at bruge fortegnet ”\(+\)”, men det er ikke nødvendigt.

Prøv at markere tallene -3 og 2 på en tallinje.
Da 2 står til højre for -3 på talaksen, siger vi, at 2 er større end -3.

Vi kan skrive det kort således:
\[2>-3\]

Vi har hidtil brugt minus-symbolet til at angive fortegn eller regneoperation, men som en sidste mulighed kan minus-symbolet også anvendes til at angive fortegnsskift.
Se eksempelvis på følgende udtryk Det første minus-symbol angiver, at vi skal ændre fortegn på tallet \(-6\).
Altså gælder der, at Bemærk parentesen om \(-6\). Det er ikke god skik at skrive \(--6\).

Se nu på følgende udtryk \(x\) er et ukendt tal, så vi ved ikke noget om fortegnet. Derfor angiver minus-symbolet her et fortegnsskift og ikke et fortegn.

På tallinjen ligger eksempelvis -2 og 2 lige langt fra 0. Det gælder også -5 og 5 og alle andre sådanne talpar.
Vi siger, at den absolutte værdi (eller den numeriske værdi) af -2 og 2 er den samme, nemlig 2. Vi bruger to lodrette streger til at angive absolut værdi.
Eksempelvis gælder, at

Hvad skal vi forstå ved følgende udtryk? Det er igen godt at tænke på en talaske. Find 4 på talaksen og gå syv til venstre; så lander vi på -3. Vi kunne også starte med at finde -7 på talaksen og derfra gå fire til højre, hvorved vi igen lander på -3. Det betyder, at Rækkefølgen er nemlig ligegyldigt, når vi adderer. Bemærk parentesen om -7 på venstre side af lighedstegnet. Det er ikke god skik at skrive \(4+-7\).

Regneoperationerne addition og subtraktion kan erstatte hinanden.
For eksempel gælder, at Der er en vigtig fordel ved at bruge addition i stedet for subtraktion: Ved subtraktion er rækkefølgen nemlig IKKE ligegyldig.
Se på følgende udtryk Vi kan omskrive det, så vi kun bruger addition (bemærk, at minus-symbolerne bliver til fortegn i stedet for operatorer) Nu er rækkefølgen ligegyldig, så vi kan flytte rundt på tallene og se, at udtrykket er lig 0.

Du får nu 12 sekunder per opgave. Det er meget let at lave små fejl i disse opgaver, så fortvivl ikke.

Når vi ganger to tal sammen, foretager vi en operation, der hedder multiplikation. Resultatet er et produkt.

For eksempel gælder det, at Vi kan selvfølgelig også formulere det således Her er \(\cdot\) en operator, der viser, at vi skal foretage operationen multiplikation.

Se nu på følgende udtryk Det er det samme som Det vil sige, at Hvis vi ganger med -1, svarer det altså til at skifte fortegn.

Hvordan skal vi opfatte følgende udtryk? Vi kan udnytte, at \(-4\) er det samme som \(4\cdot(-1)\) og at \(-3\) er det samme som \(3\cdot(-1)\).
Vi kan derfor omskrive udtrykket til Da vi ganger med -1 to gange, svarer det til at skifte fortegn to gange.
Altså må udtrykket være lig

Fortegnsskift har samme placering i regnehierarkiet som multiplikation, da det svarer til at gange med -1. Eksempel 1:
Se på udtrykket Det første minus-symbol angiver et fortegnsskift, så potensen skal regnes først. Udtrykket er altså lig Eksempel 2:
Se på udtrykket Parentesen angiver, at det er tallet -4, der skal opløftes til anden potens. Udtrykket er altså lig

Du får måske brug for papir og blyant til at lave mellemregninger.

Eksempel:
Vi vil omskrive følgende udtryk til et tal Først omskriver vi potensen. Nu udføres multiplikationen Til sidst udføres subtraktionen, og vi får svaret

På dette afsluttende niveau får du 20 sekunder per opgave.

Husk at du kan repetere tidligere niveauer, hvis opgaverne er for svære.

Selve ordet "procent" kommer af Latin og betyder "for hver hundrede".
Tredive procent betyder altså "tredive for hver hundrede". Med symboler kan vi skrive det således: \[ 30 \% = \frac{30}{100} \] NÅr vi skal foretage beregninger, vil vi ofte foretrække at bruge notationen med brøkstregen.

Det er ofte meget nyttigt at kunne gange små tal sammen lynhurtigt uden lommeregner. Faktisk skal du lære at huske svarene uden at regne, da det er langt hurtigere. Når du kan gange to tal mindre end 10 sammen nærmest i søvne, så kan du den lille tabel.

Du får nu kun seks sekunder til hver opgave. Hvis du ikke har tidligere har terpet den lille tabel, kan det godt tage et stykke tid at gennemføre dette niveau, men det er besværet værd!

På dette niveau skal du gange små tal med 4 og 5.

Du får nu syv sekunder per opgave.

Du skal nu gange med 6, 7, 8 og 9.

Når du kan gennemføre dette niveau, har du styr på den lille tabel. Men repetér niveauet med jævne mellemrum, så du ikke glemmer det igen.
Du får syv sekunder per opgave.

Potenser er øverst i regnehierarkiet, hvilket betyder, at potenser skal udregnes først. Lad os se på følgende udtryk: \[3\cdot2^3\] Hvis vi beregner potensen, kan vi omskrive udtrykket til \[3\cdot8\] Det vil sige, at \[ 3\cdot2^3 = 3\cdot8 = 24 \] Vi må altså ikke begynde med at gange 3 og 2 sammen, da vi så ikke overholder regnearternes hierarki!

Ifølge regnearternes hierarki skal vi gange, før vi lægger sammen. Eksempelvis er \(2+3\cdot2\) lig med 8.

Uden reglen kunne \(2+3\cdot2\) lige så vel være 10.

Se på udtrykket Vi omskriver udtrykket i overensstemmelse med regnearternes hierarki. Tjek at hver omskrivning (adskilles af lighedstegn) er korrekt:
Vi kan bryde regnearternes hierarki med parenteser. Hvis vi eksempelvis vil lægge 5 og 4 sammen og derefter gange med \(3^2\), skal vi bruge en parentes

Se på udtrykket Her skal eksponenten regnes først.
Potensen kan altså omskrives til \(2^7\).

Egentlig ville det være logisk, hvis vi skulle bruge en parentes ...   men det er ikke nødvendigt, idet det er tydeligt, at eksponenten er \(3+4\), når vi bruger hævet skrift. Hvis vi skal indtaste udtrykket \(2^{3+4}\) på en lommeregner eller computer uden mulighed for at lave hævet skrift, SKAL vi huske parentesen. I givet fald, vil vi skrive 2^(3+4).

Følgende problem kan de fleste løse uden en matematisk uddannelse: Med en matematisk formulering lyder spørgsmålet Problemet ændres nu Matematisk kan problemet formuleres således Mange store og små problemer kan omformuleres til matematiske problemer. Når du bliver god til at lave sådanne omformuleringer, bliver du i stand til at løse meget komplicerede problemer.

På dette niveau skal du omskrive matematiske udtryk til et tal.

Når vi ganger tal sammen, er rækkefølgen ligegyldig. Vi siger også, at faktorernes orden er ligegyldig.
Eksempelvis gælder, at Når vi lægger tal sammen er rækkefølgen også ligegyldig.
Eksempelvis er

Du får nu 10 sekunder på per opgave.